meno:

heslo:

    1 užívateľ on-line

Hľadaný text - Databáza aktivít


Databáza aktivít - knižnica inšpirácií

Upozornenie: na tomto mieste sa zobrazuje len výber z databázy. Kompletná databáza je dostupná pre prihlásených užívateľov.

I. Základná charakteristika aktivity | II. Didaktické ciele | III. Príprava aktivity | IV. Podrobný popis aktivity | V. Diskusné fórum k aktivite

Dátum pridaniaZdrojEmail autoroviPočet prístupovHodnotenie
12.09.2005 Strom poslať 24283 Buďte prvý!

Séria úloh z geometrie

zobrazenie pre tlač

Celkový čas trvania aktivity Vek žiakov (v rokoch) Optimálny počet účastníkov Rozdelenie účastníkov Odporúčaná časť dňa Minimálny počet organizátorov Čas na technickú prípravu
1 až 1:30 hod. 13 až 17 5 až 25 Všetci spolu Dopoludnie 1 < 0:05 hod.

I. Základná charakteristika aktivity
hore

Anotácia:
Prednáška je tvorená sériou úloh z geometrie, ktorých cieľom je napomôcť žiakom (účastníkom) naučiť sa vhodne používať zhodnosť trojuholníkov, respektíve poznatok, že ak je daná kružnica a dve jej dotyčnice prechádzajúce jedným bodom A, tak vzdialenosť tohto bodu A od jednotlivých bodov dotyku je rovnaká.

Kľúčové slová:
planimetria, zhodnosť trojuholníkov, dotyčnicový štvoruholník

Typ aktivity - forma:
Prednáška - Gradovaná séria úloh

Predmet - oblasť:
Matematika - Geometria (Planimetria)

Predpokladané vedomosti:
Učivo základnej školy z planimetrie. Zhodnosť trojuholníkov.


II. Didaktické ciele
hore

Fáza poznávacieho procesu:
Precvičenie znalostí, Objavenie poznatku

Kompetencie:
Komunikácia - hovoriť na verejnosti, počúvať a brať do úvahy názory iných ľudí, obhajovať vlastný názor a argumentovať
Práca s informáciami - radiť sa s ľuďmi vo svojom okolí, dávať veci do súvislosti a organizovať poznatky rôzneho druhu, ovládať matematické a modelové nástroje
Autonómia osobnosti - organizovať svoj učebný proces, nachádzať nové riešenia


III. Príprava aktivity
hore

Pomôcky:
Papier, Tabuľa

Čas na technickú prípravu:
menej ako 5 minút


IV. Podrobný popis aktivity
hore

Súbory:
application/pdfGeometria.pdf Priebeh prednášky (44.4 kB)


Text:
Prednáška je určená pre stredoškolákov; zvládnu ju bez väčších problémov aj prváci. Priebeh prednášky je tiež v priloženom dokumente Geometria.pdf.

Priebeh prednášky je na prvý pohľad pomerne stereotypný. Na tabuli sa objavujú postupne zadania (a neskôr aj riešenia) jednotlivých úloh. Keď som túto prednášku mal na matematickom krúžku, dal som si záležať na tom, aby riešenia, ktoré sa objavia na tabuli, neboli moje, ale aby vždy niektoré z detí prišlo napísať (nakresliť) to svoje riešenie.

Tento text bude obsahovať okrem zadaní a vzorových riešení úloh aj poznámky k priebehu prednášky a ďalšie rady a nápady, ako prednášku viesť. Čitateľovi doporučujem si vždy najprv prečítať len zadanie úlohy, skúsiť ju vyriešiť, a až potom si prečítať riešenie a ďalší text.
Takisto vrele doporučujem kresliť si veľa obrázkov.

1. úloha:
V pravouhlom lichobežníku ABCD s pravými uhlami pri vrcholoch A a D sa kružnica nad priemerom AD dotýka ramena BC. Dokážte, že platí a+c=b.

Riešenie:
Označme X bod dotyku danej kružnice so stranou BC a S jej stred. Zrejme S je stred úsečky AD. Platí |AS|=|XS|=|DS|=r, potom podľa vety Ssu sú trojuholníky ABS a XBS zhodné (uhol pri vrchole A, resp. X je pravý) a teda |BX|=a, podobne dostávame, že |CX|=c, z čoho už plynie dokazovaná rovnosť.

Priebeh:
Účastníci by sa mali sami pustiť do riešenia tejto úlohy. Je relatívne ľahká a tí najšikovnejší by mali riešenie objaviť behom minúty, dvoch. Aby sa ten, kto objavil správne riešenie ako prvý, nenudil, je možné ho poslať napísať svoje riešenie na tabuľu na zadnú stranu krídla (to preto, aby ostatní ešte mali šancu na riešenie prísť sami). Neskôr sa jeho riešenie vo vhodnej chvíli zverejní. Podstatou (nielen) tejto úlohy je nakresliť si správny obrázok a v ňom čosi zbadať. Preto treba decká povzbudzovať, aby sa snažili nakresliť si čo najpresnejší obrázok (v tom zmysle, aby vystihoval zadanie úlohy). Kým si účastník nakreslí "ten správny" obrázok, je možné, že bude musieť preskákať tieto (a možno aj ďalšie) kroky:
  • lichobežník, ktorý nie je pravouhlý
  • pravouhlý lichobežník, v ktorom je kružnica nad niektorou zo základní, alebo nad šikmým ramenom
  • pravouhlý lichobežník, v ktorom je už tá správna kružnica, ale nedotýka sa ramena
  • tipnem si, ako má vyzerať ten správny lichobežník, a dopasujem doňho polkružnicu (skôr polvajce)
  • začnem s kolmým ramenom, základne zatiaľ nemajú určené dĺžky; potom dokreslím kružnicu a k nej dotyčnicu - to bude moje šikmé rameno
  • atď.


Je vhodné tých, ktorí si kreslia veľa obrázkov, pochváliť, aby sa aj ďalší nehanbili nakresliť si hoci aj 10 obrázkov. Na tom, aké obrázky si decká kreslia, dobre vidno, kde sa nachádzajú v procese pochopenia zadania a uchopenia úlohy. Správny a výstižný obrázok už väčšinou znamená objavenie riešenia úlohy.
Zaujímavá a priekopnícka myšlienka je pri kreslení obrázku vychádzať z toho, čo treba dokázať. Veď ak dokazované tvrdenie platí, tak ho môžeme pri kreslení náčrtu využiť (no nemožno sa oň opierať pri dôkazoch).

Po určitom čase kreslenie obrázkov ustane a je potrebné sa s tými, ktorí sú bezradní, pohnúť ďalej. Vhodnými otázkami je relatívne ľahké rozpútať medzi deckami diskusiu, ktorá ich dovedie až k riešeniu. Napríklad:
  • Čo znamená, že máme dokázať a+c=b?
  • Keď máme dokázať, že a+c=b, možno stačí rozdeliť stranu b nejakým bodom a ukázať, že jedna časť má dĺžku a, druhá c. Ktorý bod by to mohol byť?
  • Bod dotyku kružnice a ramena? Čím je tento bod výnimočný?

Kľúčové je v tomto prípade spojiť bod dotyku kružnice so stredom kružnice a vyznačiť pravé uhly. To, že spojnica bodu dotyku a stredu je kolmá na dotyčnicu, by mali mať decká zvedomené ako samozrejmosť. Potom už je ľahko vidno, ktoré úseky sú rovnako dlhé a prečo. V tomto okamihu je vhodné odkryť riešenie na zadnej strane krídla tabule.

Po tejto úvodnej úlohe nasleduje nový pojem:
Dotyčnicový štvoruholník je taký, ktorému sa dá vpísať kružnica.

Keďže decká si vždy zo začiatku mýlia dotyčnicový a tetivový štvoruholník, je dobré nechať si vysvetliť rozdiel a to, prečo sa tieto štvoruholníky vlastne takto volajú.
Ak vidia pred sebou (v zošite alebo na tabuli) obrázok tetivového i dotyčnicového štvoruholníka, sami prídu na to, že v dotyčnicovom štvoruholníku sú strany (štvoruholníka) dotyčnice (vpísanej) kružnice, zatiaľ čo v tetivovom sú strany (štvoruholníka) tetivy (opísanej) kružnice.
2. úloha:
Dokážte, že v ľubovoľnom dotyčnicovom štvoruholníku platí a+c=b+d.

Riešenie:
Ak v dotyčnicovom štvoruholníku spojíme stred vpísanej kružnice so všetkými štyrmi vrcholmi a ďalej ak vyznačíme polomery kolmé na jednotlivé strany, dostaneme spolu 4 páry po dvoch zhodných trojuholníkov. Požadované tvrdenie z toho už vyplynie ľahko.

Priebeh:
Toto tvrdenie je jedným zo základných tvrdení týkajúcich sa dotyčnicových štvoruholníkov a je možné, že viacerí žiaci ho vyhlásia za triviálne (je uvedené aj v matematických tabuľkách ako charakterizujúca vlastnosť dotyčnicových štvoruholníkov). Pre tých, ktorí úlohu vyhlásia za príliš ľahkú a vedia predviesť je riešenie, je vhodné mať pripravenú nejakú ťažšiu úlohu, napríklad niektorú z týchto:

úloha pre fanatikov 1
Je daný rovnobežník ABCD. Označme body, v ktorých sa kružnice vpísané do trojuholníkov DAB, ABC, BCD a CDA, dotýkajú uhlopriečok AC, resp. BD, ako K, L, M a N. Dokážte, že tieto štyri body sú buď totožné, alebo tvoria obdĺžnik.

úloha pre fanatikov 2
Označme stred ramena BC lichobežníka ABCD ako E. Dokážte, že ako štvoruholníky ABED a AECD sú dotyčnicové, tak platí a+c=b/3+d. Úloha je naozaj ťažká.

Poučení z prvej úlohy by si mali decká skúšať kresliť viacero obrázkov. Opäť je kľúčové vyznačiť si kolmice zo stredu na jednotlivé strany štvoruholníka a využitie poznatku, že zodpovedajúce úseky od jednotlivých vrcholov štvoruholníka po body dotyku sú po dvoch rovnako dlhé.

3. úloha
Vypočítajte polomer vpísanej kružnice v trojuholníku so stranami a) 3, 4, 5 cm, b) 5, 12, 13 cm.

Riešenie:
Keďže trojuholník je pravouhlý, ak si vyznačíme polomery vpísanej kružnice kolmé na jednotlivé strany, dostávame pri vrchole s pravým uhlom štvorec so stranou r; potom ak dorátame zvyšné úseky obvodu, dostávame úseky dlhé a-r a b-r, ktoré majú dať spolu c. Z toho r=1/2(a+b-c). Dosadením dostávame konkrétne hodnoty (1cm, resp. 2cm).

Priebeh:
Samozrejme, nie je vhodné začať so všeobecným prípadom. Tí, ktorí neobjavia, že ide o pravouhlý trojuholník, budú rátať dĺžky úsekov, na ktoré vpísaná kružnica rozdeľuje strany trojuholníka, ako sústavu troch rovníc o troch neznámych. (Každá rovnica vyjadruje, že súčet dvoch úsekov sa rovná dĺžke jednej zo strán). Potom ale narazia na problém, ako potom na základe týchto čísel vyrátať polomer vpísanej kružnice.
To, že trojuholníky sú pravouhlé, sa ale zatajovať dlho nedá. Objaviť štvorec, spomínaný vo vzorovom riešení, už potom ide ľahko. Úlohu možno dokončiť potom viacerými možnými spôsobmi, je možné aj nechať decká na tabuli predviesť viaceré riešenia.

4. úloha:
V pravouhlom trojuholníku spojnica stredu vpísanej a opísanej kružnice zviera s preponou 45° uhol. Nájdite veľkosti uhlov trojuholníka.

Priebeh a riešenie:
Na tejto úlohe je priam kľúčové nakresliť si správny obrázok. S tým treba asi viacerým pomôcť (Povzbudzovať ich, aby to skúšali znova a znova). Jedna z vecí, na ktoré sa dá prísť rýchlo, je, že stred opísanej kružnice v pravouhlom trojuholníku je predsa stred prepony. Je celkom ťažké na prvý pokus nakresliť taký obrázok, aby uhol v zadaní mal naozaj 45°. V trojuholníku, ktorý je skoro rovnoramenný, je stred prepony a bod dotyku vpísanej kružnice príliš blízko, a teda zadaný uhol je oveľa väčší než 45°. Na druhej strane v pravouhlom trojuholníku, kde jedna odvesna je oveľa kratšia ako druhá, vychádza daný uhol príliš malý. Ako teda nakresliť taký obrázok, aby ten 45-stupňovy uhol vyzeral hodnoverne?

Dobrý nápad v tomto prípade (ktorý sa ale nemusí medzi deckami objaviť) je začať kresliť obrázok tým 45-stupňovým uhlom (skúste si to!).

Riešenie potom môže pokračovať zhruba takto: Trojica bodov stred vpísanej kružnice, bod jej dotyku s preponou a stred prepony tvoria rovnoramenný pravouhlý trojuholník, dokonca je to polovičný trojuholník k tomu štvorcu v rohu (nakreslite si obrázok!). Označme všetky úsečky, ktoré sa dajú, ako r a dĺžku ďalších vyjadrime pomocou strán a, b a c. No a pretože tam je ten stred prepony, dostávame už, že a-r+r=c/2, teda c=2a, čo na základe nejakých goniometrických funkcií (sínus) dáva uhly 30° a 60°. Hotovo.

Po tejto sérii úloh nasleduje malá vložka:
Teraz sa pozrime bližšie na to, ako súvisí polomer vpísanej kružnice a obsah trojuholníka. Keď označíme O stred a r polomer, S obsah trojuholníka, dostávame
S=S(ABC)=S(ABS)+S(BCS)+S(CAS)=1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c).r.
Teraz ak označíme polovičný obvod ako s=1/2(a+b+c)$, tak máme S=s.r.
Využime teraz tento vzťah pre pravouhlý trojuholník s preponou c. Dostávame r=(ab)/(a+b+c).

Na druhej strane použitím postupu pre trojuholník so stranami 5, 12, 13 (nechať decká, nech to spravia) dostávame vzťah r=(a+b-c)/2.

Je to kóšér? Sú tie dva vzťahy o tom istom? Nemôže sa stať, že z jedného dostaneme niečo iné ako z druhého? Môže mať vpísaná kružnica dva polomery?

Úloha 5
Kde je chyba?

Po malej chvíli počítania by mali všetci zasvietiť radosťou, že im to vyšlo. Stačí dať oba vzťahy do rovnosti, upraviť a dostaneme Pytagorovu vetu. S týmto radostným pocitom môžeme prednášku ukončiť.


V. Diskusné fórum k aktivite
hore

Fórum k tomuto príspevku

Iba zaregistrovaní užívatelia môžu prispievať do fóra.
Registrácia

Od kohoDátumVec
Text




PROJEKT JE SPOLUFINANCOVANÝ EURÓPSKOU ÚNIOU

O projekteAutoriKontakt